cho tam giác ABC, điểm M nằm trong tam giác ABC. vẽ MD vuông góc với BC tại D, ME vuông góc với AC tại E, MF vuông góc với AB tại F. đặt MD=x,ME=y,MF=z. xác định vị trí của điểm M để x^2+y^2+z^2 đạt giá trị nhỏ nhất
Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trong tam giác ABC. Vẽ MD vuông góc với BC tại D, ME vuông góc với AC tại E, MF vuông góc với AB tại F.
Đặt MD = x, ME = y, MF = z
a) Chứng minh rằng x + y + z không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b) Xác định vị trí của điểm M để x2 + y2 + z2 đạt giá trị nhỏ nhất.
BẠN TỰ VẼ HÌNH NHA
Giải
Gọi cạnh tam giác đều ABC la a, chiều cao là h.Ta có:
a) Ta có Stam giác BMC+Stam giác CMA+Stam giác AMB =Stam giác ABC
<=>(1/2)ax+(1/2)ay+(1/2)az=(1/2)ah <=> (1/2)a.(x+y+z)=(1/2)ah
<=>x+y+z=h không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
b) x2+y2\(\ge\)2xy ; y2+z2\(\ge\)2yz ; z2+x2\(\ge\)2zx
=>2.(x2+y2+z2) \(\ge\)2xy+2xz+2yz
=>3.(x2+y2+z2) \(\ge\)x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
=>x2+y2+z2 \(\ge\)(x+y+z)2/3=h2/3 không đổi
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
Vậy để x2 + y2 + z2 đạt giá trị nhỏ nhất thì M là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC hay M là tâm của tam giác ABC
\(a.\)Ta có: \(S_{\Delta BMC}=\frac{BC.x}{2}\)\(\Rightarrow\)\(x=\frac{2.S_{\Delta MBC}}{BC}\)
\(S_{\Delta BMA}=\frac{BA.z}{2}\)\(\Rightarrow\)\(z=\frac{2.S_{\Delta BMA}}{AB}\)
\(S_{\Delta AMC}=\frac{AC.y}{2}\)\(\Rightarrow\)\(y=\frac{2.S_{\Delta AMC}}{AC}\)
mà \(\Delta ABC\) đều nên AB = BC = CA
suy ra \(x+y+z=\frac{2\left(S_{\Delta AMC}+S_{\Delta BMA}+S_{\Delta BMC}\right)}{AB}\)
suy ra đpcm
Từ điểm M nằm trong tam giác ABC vẽ MDvuông góc BC tại D, ME vuông góc với AC tại E, MF vuông góc với AB tại F. Trên các tia MD,ME,MF, lằn lượt lấy các điềm I,K,L sao cho MI/BC=MK/AC=MI/AB. Chứng minh rằng M là trọng tâm của tam giác I,K,L
Cho tam giác ABC đều có đường cao AH=h. M là điểm nằm trong tam giác ABC, vẽ MD vuông góc AB tại D , ME vuông góc BC tại E và MF vuông góc AC tại F.
a/ CMR MD+ME+MF=h
b/ xác định vị trí của điểm M trong trường hợp MD=ME=MF
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường cao BH của AC. Cho 1 điểm M bất kì thuộc BC. Vẽ MD vuông góc AB, ME vuông góc với AC, MF vuông góc với BH. Chứng minh khi M chạy trên đáy BC thì MD+ME có giá trị không đổi.
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường cao BH. Trên đáy BC lấy điểm M.Vẽ MD vuông góc với AB, ME vuông góc với AC và MF vuông góc với BH
a)Chứng minh ME = FH
b)Chứng minh tam giác DBM = tam giác FMB
c)Chứng minh khi điểm M chạy trên đáy BC thì MD + ME có giá trị không đổi
a, Ta thấy :FH\(\perp\)HE
ME\(\perp\)HE
=>FH//ME
=>FHM^=HME^
Xét \(\Delta\)vuông FHM và \(\Delta\)vuông EMH ,có
HM cạnh chung
FHM^=HME^ (cmt)
=>\(\Delta\)FHM =\(\Delta\)EMH (ch-gn)
=>ME=FH (hai cạnh tương ứng)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), M thuộc cong BC nhỏ ( AB < AC ) . Vẽ MD vuông góc với BC tại D, ME vuông góc với AC tại E, F là giao của DE và AB. Xá đinhm vị trí của M trên cung BC nhỏ để A= \(\dfrac{AB}{MF}+\dfrac{AC}{ME}+\dfrac{BC}{MD}\) MIN.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Tia phân giác góc A cắt BC tại M.
a) Chứng minh
tam giacAMB bang tam giac AMC
b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh AB // DC.
c) Qua M vẽ ME vuông góc với AB (E thuộc AB), MF vuông góc với AC (F thuộc
AC). Chứng minh ME = MF.
d) Chứng minh EM vuông góc với CD.
Cho tam giác ABC có AB=AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại M a) Chứng minh sAMB=AAMC b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA. Chứng minh AB//DC c) qua M vẽ ME vuông góc với AB(E thuộc AB), MF vuông góc với AC (F thuộc AC). Chứng minh ME=MF d) Chứng minh EM vuông góc với CD
a: Xét ΔAMB và ΔAMC có
AM chung
\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)
AB=AC
Do đó: ΔABM=ΔACM
